Merkezi Limit Teoremi

  1. Klasik merkezi limit teoremi - Merkezi limit teoreminin ispatı - Limite yakınsama - Büyük sayılar yasasına ilişkisi - Yoğunluk fonksiyonları - Lyapunov koşulu


    Merkezi limit teoremine göre büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenler (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss-tipi dağılım ve çan şekilli dağılım) gösterir. Matemetik biçimsel bir ifade ile, bir merkezi limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi, birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir.
    Pratik gerçekte birçok anakütle, sonlu varyans gösteren dağılımlar ortaya çıkardıkları için, bu teorem normal olasılık dağılımının önemini açığa çıkartır.

    Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu, Lyapunov koşulu, Gnedenko durumu ve Kolmogorov durumu) sonlu varyans gösterme için mutlaka aynı dağılım gerekmemektedir.

    Tarihçe

    Tijms (2004, p.169) [ yazdığına göre:
    Merkezi limit teoreminin tarihi gelişmesi çok enterasandır. Bu teoremin ilk şekli Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından 1733'te yayınlanarak gayet dikkati çeken bir yazıda bulunmakta ve bu yazıda bir yansız madeni paranın yazı-tura atış sonuçların da kaç defa yazı gelme sayısının dağılımının bir normal dağılım ile yaklaşık olarak açıklanabileceğini ortaya çıkartmıştır. Bu gelişme zamanı için çok zor görünüp nerdeyse unutulmuştur. Bu unutulmuş konu tanınmış Fransız matematikçisi Pierre-Simon Laplace'ın 1812'de yayınladığı çok tanınmış eseri Thoerie Analytique des Probabilites (Olasılıklar İçin Analitik Kuram)'da yeniden ortaya çıkarılmıştır; Laplace, De Moivre'in buluşunu daha da geliştirerek binom dağılımlarının yaklaşık olarak normal dağılım ile ifade edilip hesaplanabileceği sonucunu ortaya atmıştır. Ancak De Moivre gibi Laplace gelişmeleri de yaşadığı çağda çok az dikkati çekmiştir. Sonunda 19. yüzyılın içinde merkezi limit teoreminin önemi anlaşılmış ve 1901 Rus matematikçisi Aleksandr Lyapunov bu teoremi genel bir şekilde açıklamış ve matematik olarak nasıl ortaya çıktığını çok kesin bir şekilde ispatlamıştır. Bugün merkezi limit teoremi olasılık kuramının en önemli ögesi, gayriresmi kralı, olduğu kabul edilmektedir."

    Klasik merkezi limit teoremi


    Merkezi limit teoremi olasılık kuramı için ikinci temel teorem olarak kabul edilmektedir. (Birinci temel teorem büyük sayılar yasasıdır.) Eğer X1, X2, X3, ... n tane bağımsız ve aynı şekilde sonlu sayıda ve μ ortalaması ve σ2n artış gösterdikce, orijinal dağılım her ne şekilde olursa olsun, limitte örneklem ortalamasının dağılımı, ortalaması μ ve varyansı &sigma2/n olan, bir normal dağılıma yakinsanma gösterir. varyansı olan dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Merkezi limit teoremine göre örneklem büyüklüğü
    Rassal değişkenlerin Sn ile ifade edilen toplamı şöyle verilsin:
    Sn = X1 + ... + Xn ve
    bir standart normal μ ortalamalı ve varyanslı standart normal dağılım olsun.
    Bu yakınsama teoremine göre limitte n-->∞, S'nin dağılımı olan Znstandart normal dağılımına yaklaşır. dağılımı N(0,1)
    Bu demektir ki; eğer Φ(z) N(0,1) dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonuz reel sayısı için ise o halde her
    veya,
    olur. Burada
    örneklem ortalaması olur.
    Yillarca, büyük örneklem hacmi pratik olarak n>29 olarak kabul edilmekteydi. Fakat 1990li yıllarda yapılan araştırmalar ortaya çıkarmıştır ki bu pratik kural her zaman geçerli değildir. Eğer anakitle dağılımı çok çarpıklık gösteriyorsa Merkezi Limit Teoreminin geçerli olduğu büyükbüyük örneklem hacminin gittikce daha büyük olması gerekmektedir. Bu şekilde çarpıklık gösteren anakütleler pratikte çok nadir bulunabilirler. Bu pratik kurala dayanan ve çıkarımsal istatistik için kullanılan Student t dağılımı tablolari ancak n=30 verilmektedir ama simulasyon ve kompüter animasyon ile gösterilmiştir ki Student t dağılımı tabloları için seçilen en yüksek örneklem hacmi olan n>29 yeterli büyüklükte değildir. [3] [4] örneklem hacmi 100 veya hatta 250 bile olması gerekmektedir. Anakütle ne kadar çok çarpıklık gösterirse gereken

    Merkezi limit teoreminin ispatı

    Olasılık kuramı ve istatistik bilimleri için temel önem taşıyan bu "merkezi limit teoremi"'nin ispatı karakteristik fonksiyonu kullanarak kolayca yapılabilir. Bu ispat zayıf büyük sayılar yasasını ispat etmek için kullanılan yönteme çok benzemektedir.
    Herhangi, ortalaması 0 varyansı birim olan, bir rassal değişken Y (yani E(Y)=0 ve var(Y)=1) alalım; Taylor teoremi kullanılarak Y için karekteristik fonksiyonun şu olduğu bilinir:
    Burada t2 ifadesinden daha hızla 0a yaklaşan herhangi bir t için :o (t2 ) --> 0 olur. Yi ifadesini Xi standardize edilmiş değeri yani (Xi − μ)/σ olarak koyalım. Bu halde X1, X2, ..., Xn gözlem noktalarının standardize edilmiş ortalaması
    olur. Karekteristik fonksiyonun basit nitekliklerine dayanarak, Zn için karekteristik fonksiyonun
    olduğu çıkartılır. Bu limit ise açıkça N(0,1) standart normal dağılımı için karekteristik fonksiyondur ve merkezi limit teoremi, karekteristik fonksiyonların yakınsalamasının dağılımın yakınsamasına eşit olduğunu bildiren Levy süreklilik teoremi kullanarak isbat edilmiş olur.

    Limite yakınsama

    Eğer üçüncü merkezsel moment E((X1 − μ)3) bulunuyorsa ve sonlu ise, yukarıda açıklanan yakınsalaşma Berry-Eseen teoremi ile yakınsalaşma hızı asgari 1/n½ olur. Yakınsalaşma normali monotoniktir yani Zn'nin enformasyon entropisi bir normal dağılım entropisine monotonik olarak yakınsalaşır.
    Bir dağılımın toplama ile "düzgünleştirilmesi" için grafikler orijinal olasılık dağılım fonksiyonu ve diğer üç (dağılım fonksiyonların konvolusyonu ile elde edilen) toplama için şu grafiklerde görülür:

    Merkezi limit teoreminin bir grafiksel temsili bir anakütlenin rassal ortalamalarının grafiği ile gösterilebilir. Bir An alalım ve bu bir rassal örneklem için örneklem ortalaması ve herbir örneklemden tek bir rassal değişken de Xn olsun:
    An = (X1 + ... + Xn) / n
    1den verilen bir örneklem hacmine kadar An ifadesini bulalım:
    A1 = (X1) / 1
    A2 = (X1 + X2)/ 2
    A3 = (X1 + X2 + X3)/3
    Merkezi limit teoremi için ortalamaları örneklem hacmi 90a kadar yani 30 nokta olarak gösterilmesi gerekir. Eğer An
    Zn = (An − μ) / (σ / n½)
    kullanılarak standartize edilirse, yukarıda verilen Zn değişkeninin aynısı ortaya çıkar ve bu bir standart normal dağılımına yakınsanır.
    Merkezi Limit teoremi sonlu sayıda gözlemler için bir tahmin olarak kullanılması gerek bu sayılar normal dağılımın zirvesi etrafında toplanırsa iyi sonucdur; dağılımın kuyruklarında olan gözlemler için bu tahminin yeterince doğru olması için çok sayıda gözlem elde edilmesi gerekir.
    Merkezi Limit Teoremi özellikle bağımsız ve aynen dağılım gösteren ayrık rassal değişkenler için uygulanır. Ayrık rassal değişken için bir toplama ile elede edilen değerde bir ayrık rassal değişkendir ve böylece bir seri ayrık rassal değişken için tek tek yığmalı olasılık dağılım fonksiyonu bir sürekli değişken için bir yığmalı olasılık dağılım fonksiyonua (yani normal dağılıma) yakınsalaşır.
    Bu demektir ki eğer n sayıda bağımsız ve özdeş ayrık değişkenlerin toplamının gerçekleşmelerinin bir histogramını kurarsak, histogramı şekillendiren dikdörtgenlerin yukarı yüzlerinin merkezlerini birleştiren eğri, n' değerine yakınsalaştıkça, bir Gauss-tipi çan eğrisine gittikçe benzemeye başlar. Basit sadece iki değer alan bir ayrık değişkeni içeren binom dağılımı gösterdiği simüle edilen bir halde bile bu merkezi limit teoremi uygulandığı görülebilir.

    Büyük sayılar yasasına ilişkisi

    Hem büyük sayılar yasası hem de Merkezi Limit Teoremi daha genel bir problemin kısmı çözümleri olmaları çok olasıdır. Bu genel problem şöyle ifade edilebilir: "Eğer n sonsuz değere yakınsamaktaysa Sn ifadesinin yakınsama davranışı ne olur?". Matematik analizde bu çeşit sorulara yaklaşmak için en popüler matematik araç asimtotik seriler konumuna dayanır.
    f(n) fonsksiyonunun asimtotik genişletilmesin şu olduğunu kabul edelim:
    Bu ifadenin her iki tarafını da ile bölersek ve limit alırsak, en f(n)a1 ifadesini üretiriz: fonksiyonunun en baştaki terimin değişme haddini temsil eden, genişletilmenin en yüksek-sıradaki katsayısı olan
    Formel olmadan bu şöyle açıklanabilir: "fonksiyon ile onu yakalsık olarak ifadenin arasındaki fark haddinde büyür". Bu kavramın ana sonucu şöyledir: fonksiyonu uygun bir yaklaşık veren normalize eden fonksiyonlar ile bölersek ve bu sonucun limitteki davranışına bakarsak, bu netice orijinal fonksiyonun limitteki davranışı hakkında epeyce çok açıklama yapar.
    Sn ifadesinin klasik olasılık teoride incelenmesinde de aynı usulde açıklama yapılmaktadır. Belirli düzenleme koşulları altında, eğer ξ ifadesi N(0,σ2) olarak dağılım gösterirse, hem Büyük Sayılar Yasası yani
    hem de Merkezi Limit Teoremi yani
    şu formel olmayan ifadenin ilk iki sabitlerinin değerlerini verirler:


    Eğer X1, X2, X3, ... bağımsız ve özdeş ifadeler ise ve belli bir ifadesi geçerli ise, o zaman için

    olur ve böylece sıfır olmayan limitleyici davranışı temin eden bir normalize etme fonksiyonu hizmetini gören n nin en yüksek üssü olur. "Takrarlanan logaritma yasası" ise çok ilgi çekici olarak, ifadeleri arasında olduğunu bildirir ve bu iki teorem ifadesi de bu değerin iki tarafında bulunan limitleri gösterir demektedir.

     

     

    Nerissa-Su - 04.04.2011 - 13:39



Benzer Konular

  1. Limit ve Süreklilik 3
    Konuyu Açan: BiR-DOST, Forum: Matematik.
    Cevaplar: 0
    Son Mesaj : 15.03.2011, 14:42
  2. speed limit
    Konuyu Açan: paye, Forum: Fıkralar.
    Cevaplar: 4
    Son Mesaj : 21.09.2009, 23:34
  3. dikey limit
    Konuyu Açan: eskitoprak, Forum: Ilginç Ve Komik Resimler.
    Cevaplar: 1
    Son Mesaj : 27.10.2007, 19:39
  4. no limit?
    Konuyu Açan: ~Eysem~, Forum: Ilginç Ve Komik Resimler.
    Cevaplar: 13
    Son Mesaj : 13.12.2005, 23:00
  5. limit
    Konuyu Açan: BATILIM, Forum: Derin Duygular.
    Cevaplar: 5
    Son Mesaj : 17.09.2004, 21:23

copyright

Soru Cevap

grafimx