Limit ve Süreklilik

  1. Limit Nedir - Süreklilik Kavramı - Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik


    I. LİMİT

    A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

    x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

    x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

    B. LİMİT KAVRAMI

    Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:



    Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), ... noktalarını göz önüne alalım:

    Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

    f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, ... giderek b ye yaklaşır.

    Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

    f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

    şeklinde gösterilir.

    Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

    E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , ... noktalarını göz önüne alalım.

    Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , ... giderek d ye yaklaşır.

    Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

    Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve



    biçiminde gösterilir.

    Kural:

    f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,


    biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

    f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

    C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT


    f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

    Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,




    Kural:



    D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

    Özellik

    f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

    E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

    Özellik


    F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

    Özellik


    f(x) = sgn [g(x)] olsun.


    Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

    Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.


    G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

    Özellik

    Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

    Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

    H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ

    Özellik

    I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

    1. sinx in ve cosx in limiti

    sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

    olur.

    2. tanx in limiti

    tanx fonksiyonu olmak üzere,

    koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,


    olur.

    Sonuç


    3. cotx in limiti

    cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

    olur.

    Sonuç

    J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

    belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

    Kural

    Kural

    m, n Î N olmak üzere,

    olur.


    Kural

    a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler,


    kuralını kullanarak hesaplanabilir.


    Kural


    Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.


    Kural


    II. SÜREKLİLİK

    Kural



    f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.


    Sonuç
    y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,


    Uyarı

    f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.


    Kural

    1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.

    2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.

    3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

     

     

    Nehir - 04.11.2009 - 13:34
  2. TEŞEKKÜR EDİYORUM BU BİLGİLER İÇİN AMA WORD DE HAZIR BİR ŞEKİLDE OLSA DAHA GÜZEL OLURDU BU SADECE BİR ÖNERİ....

     

     

    muratsevim - 28.04.2010 - 20:38



Benzer Konular

  1. Süreçsel Süreklilik Modeli
    Konuyu Açan: BiR-DOST, Forum: Lise.
    Cevaplar: 0
    Son Mesaj : 15.03.2012, 01:40
  2. Limit ve Süreklilik 3
    Konuyu Açan: BiR-DOST, Forum: Matematik.
    Cevaplar: 0
    Son Mesaj : 15.03.2011, 14:42
  3. Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik 2
    Konuyu Açan: BiR-DOST, Forum: Matematik.
    Cevaplar: 0
    Son Mesaj : 15.03.2011, 14:32
  4. Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik 1
    Konuyu Açan: BiR-DOST, Forum: Matematik.
    Cevaplar: 0
    Son Mesaj : 15.03.2011, 14:26
  5. Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik
    Konuyu Açan: BiR-DOST, Forum: Matematik.
    Cevaplar: 0
    Son Mesaj : 07.02.2011, 22:11

copyright

Soru Cevap

grafimx